Mister No Havayollarına Hoşgeldiniz

[abboritta]

Yeni Dizi deki macerasında (L'isola della magia) uçağın kısa sürede havalandığı söylenmiştir.

Mister No'nun pırpırı daha doğrusu piper i PA-18Super Cub olarak bilinmektedir.

Kalkış süresi ne olabilir?

Mister No'nun Piper uçağının fiziksel hareketini analizetmek için dirençli ortamlarda hareket denklemlerini kullanarak, kuvvetin hızın fonksiyonu olduğu durumda uçağın kalkışını matematiksel olarak modelleyebiliriz.

1. Fiziksel Model ve Denklemler

Direnç Kuvveti:

Direnç kuvveti, uçağın havada hareket ederken karşılaştığı dirençtir ve şöyle ifade edilir:

F_direnç = -k * v(t)

k = KC (direnç katsayısı), v(t) uçağın hızı, K akışkan ortam ve cisim özelliklerine bağlı fiziksel sabit, C ise direnç katsayısıd.r

Eksi işareti, direncin hareket yönüne zıt olduğunu gösterir.

Newton’un İkinci Hareket Kanununa göre, bir cisme etki eden net kuvvet, o cismin ivmesiyle doğru orantılıdır.

F[sub]net[/sub] = m * a

Uçağa etki eden net kuvvet, uçağın ivmesini belirler:

F_net= F₀ - kv(t)

Uçağın kütlesi m, net kuvvet F_net= F₀ - kv olduğundan, ivme a = (F₀ - kv) / m

İvme, hızın zamana göre türevi olduğundan, hızın zamana göre değişimini diferansiyel denklemle ifade edelim:

[i]a = dv/dt = (F[sub]0[/sub] - k.v(t)) / m[/i]

Hızın zamanla değişimine bakalım:

v(t): Uçağın t anındaki hızı

e: Doğal logaritmanın tabanı (~2.718)

F₀: Uçağa uygulanan sabit motor kuvveti (itme kuvveti)

k: Hava direnci/sürtünme katsayısı (hızla orantılı direnci belirler)

m: Uçağın kütlesi

(k/m)t: Zamanla azalan üstel terim (hızın maksimuma yaklaşma oranı)

[i]v(t) = (F[sub]0[/sub] /k) * (1- e[sup]-(k/m)t[/sup])[/i]

Bilmemiz gerekenler:

1 - Uçak, motor kuvveti (F₀) ile hızlanırken, hava direnci (kv) ile yavaşlar.

2 - Uçağın maksimum hızı, motor kuvvetinin sürtünme katsayısına oranıdır. Zamanla hız bu değere yaklaşır, ancak asla geçemez.

3 - Zamanla, motor kuvveti ile direnç kuvveti eşitlenir ve hız sabitlenir (maksimum hız).

Şimdi konuma bakalım:

Hızı entegre ederek, uçağın t anındaki konumunu buluyoruz:

x(t): Uçağın t anındaki konumu (yol) yani kalkış mesafesi

F₀/k: Maksimum hız (v_max)

t: Zaman

(m/k): Uçağın kütlesi ve direnç katsayısına bağlı zaman sabiti

(1 - e^-(k/m)t): Hızın zamanla artışını gösteren üstel terim

x(t) = (F[sub]0[/sub]/k).(t - (m/k) . (1 - e[sup]-(k/m)t[/sup]))

Uçak kalkış parametrelerine bakalım:

F0     m   k  v   x (metre)   t

--------------------------------------------------------------------------------

1600 1000 25 40 910.922887 39.233170

1800 1100 25 45 1127.26707 43.156487

2000 1200 25 50 1366.38433 47.079804

2200 1300 25 55 1628.27466 51.003121

2400 1400 25 60 1912.93806 54.926438

2600 1500 25 65 2220.37453 58.849755

Kalkış mesafesi ve süresi, itki kuvveti (F₀) ve kütle (m) ile doğru orantılıdır.

Direnç katsayısı (k) arttıkça, kalkış mesafesi ve süresi de artar.

Piper PA-18 Super Cub gibi küçük uçakların gerçek kalkış mesafesi 50–100 metre arasıdır.

Hesaplanan değerler, 772–2220 metre arasında değişmektedir. Bu, gerçek bir Piper PA-18 için çok yüksek bir kalkış mesafesidir.

Gerçek uçaklar, belirli bir hızda kaldırma kuvveti oluşturarak havalanır ve kalkış mesafesi kısalmaktadır.

Kaldırma kuvveti, uçak kanatlarının hava akımı üzerinde oluşturduğu kuvvettir.

Bunu dikkate alalım...

ρ: Hava yoğunluğu (~1.225 kg/m³ deniz seviyesinde)

v: Hız (m/s)

S: Kanat alanı (m²)

C_L: Kaldırma katsayısı (kanat profiline bağlı, tipik olarak 0.1–1.5 arası

[i]L = (1/2) * ρ * v[sup]2[/sup] * S * C[sub]L[/sub][/i]

Pist üzerinde yatay hareket denklemi:

F0: Motor itki kuvveti

kv: Hava direnci

μ(mg−L): Yere temas eden tekerleklerin sürtünme kuvveti (kaldırma kuvveti arttıkça azalır)

μ: Yüzey sürtünme katsayısı (~0.02–0.05 beton bir pist için)

[i]F[sub]net[/sub] = F[sub]0[/sub] - kv - μ(mg - L) = ma[/i]

Havalanma anında dikey hareket yani gereken koşul:

L=mg

Kaldırma kuvvetinin hızla değiştiğini ve sürtünmeyi azalttığı kalkıştaki hız fonksiyonu:

[i]v(t) = ((F[sub]0[/sub] - μmg) / (k + μ(1/2) ρSC[sub]L[/sub] v)) (1 - e[sup]-( (k + μ(1/2) ρSC[sub]L[/sub] v) / m ) t[/sup])[/i]

Kaldırma kuvvetiyle sürtünme azalır mı:

[i]x(t) = ∫[sub]0[/sub][sup]t[/sup] v(t) dt[/i]

Havalanma anında (t_lift-off neler olacak

L(t) = mg --> 1/2 pv²SC_L=mg

v_lift-off = √2mg / pSC_L

Örnek havalanma hızı hesaplama:

Kütle (m): 500 kg

Kanat alanı (S): 16.6 m²

C_L (kalkış): 1.2

F₀: 1800 N

k (hava direnci): 25 kg/s

μ (sürtünme): 0.03

ρ=1.225 kg/m³ (hava yoğunluğu)

S=16.6 m² (kanat alanı)

g=9.81 m/s²

√2.500.9,81 / 1,225.16,6.1,2 --> 18.5m/s ( 66.6 km/h)

Yani kaldırma kuvvetini dahil ettiğimizde kalkış mesafesi kısalır. Örnekte 120 - 150'e kadar düşmektedir. Süre 10 - 12 sn. arasındadır.

Minimum kalkış mesafesi ve süresi 30 - 50 metre olup, 5 ile 7 saniyedir.

Dikkat edilirse pırpırın kalkabilmesi için en az 0.5 dk ve 0.772 km mesafeye ihtiyacı vardır diye tanım yapan ve onu alkışlayanlar için sözümüz: Boeing 747’yi mi pırpır sanıyorsunuz